Lab — Z-plane Playground

Mục tiêu

Liên hệ trực tiếp vị trí của một điểm $z = re^{j\omega}$ với dãy thời gian phức

$$z^n = r^n e^{j\omega n} = r^n\cos(\omega n) + j\,r^n\sin(\omega n).$$

Kéo điểm trên mặt phẳng z hoặc dùng các thanh trượt. Đường tròn đơn vị là mốc quan trọng: bên trong đường tròn, biên độ giảm dần; trên đường tròn, biên độ không đổi; bên ngoài đường tròn, biên độ tăng dần.

Z-PLANE PLAYGROUND

Một điểm trên mặt phẳng z tạo ra tín hiệu như thế nào?

z = 0.81 + j0.59

01

Chọn điểm z

Kéo điểm hoặc dùng phím mũi tên

Bán kính r1.00Góc ω0.20π rad/mẫuTần số lấy mẫu f_s100 Hz

02

Quan sát zⁿ

f = 10.00 Hz · biên độ không đổi

Quỹ đạo phức 3D

Re(zⁿ) = rⁿ cos(ωn)

Im(zⁿ) = rⁿ sin(ωn)

Cách đọc thí nghiệm

• Bán kính $r=|z|$ điều khiển đường bao biên độ $r^n$.
• Góc $\omega=\arg(z)$ điều khiển tốc độ quay và tần số dao động chuẩn hóa.
• Với tần số lấy mẫu $f_s$, tần số vật lý là $f=\omega f_s/(2\pi)$ Hz.
• Hai stem plot là các mẫu rời rạc; đường mờ nối giữa chúng là phần mở rộng liên tục để quan sát xu hướng trước khi lấy mẫu.

Tần số lấy mẫu thay đổi điều gì?

Khi giữ nguyên $\omega$, dãy theo chỉ số $n$ không đổi. Thay đổi $f_s$ chỉ thay đổi ánh xạ từ rad/mẫu sang Hz và khoảng thời gian giữa hai mẫu $T_s=1/f_s$.

Câu hỏi quan sát

1. Điều gì xảy ra với quỹ đạo 3D khi $r$ lần lượt nhỏ hơn, bằng và lớn hơn 1?
2. Hai điểm có góc $\omega$ và $-\omega$ tạo ra phần thực và phần ảo khác nhau thế nào?
3. Với cùng $\omega=0.4\pi$, hãy so sánh tần số vật lý khi $f_s=100$ Hz và $f_s=250$ Hz.